初识CDQ分治

CDQ分治是一个好东西，一直听着dalao们说所以就去学了下。

CDQ分治是我们处理各类问题的重要武器。它的优势在于可以顶替复杂的高级数据结构，而且常数比较小；缺点在于必须离线操作。 ——by __stdcall

其实CDQ分治名字听上去很高大上，其实和一般的分治没有特别大的区别，其大体流程如下：

1. 将问题抽象为一个区间\([l,r]\)内的问题（废话）
2. 分：将问题分解成左\([l,mid]\)右\([mid+1,r]\)两部分，然后递归操作
3. 治：合并两个子问题，同时考虑到\([l,mid]\)内的修改对\([mid+1,r]\)内的查询产生的影响。即，用左边的子问题帮助解决右边的子问题。

这里特别注意CDQ分治与一般分治的区别：普通分治在合并两个子问题的过程中，左右区间内的问题不会互相影响。

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经典应用——三维偏序

我们从一道模板题来看看CDQ的具体实现：

首先考虑经典的二维偏序：逆序对

这个鬼东西不是就一个归并排序or权值树状数组的事情么

我们想一下归并排序的原理，在归并的过程中（数组已经有序），那么我左边的并且坐标大于右边的坐标个数其实就是逆序对个数。

因此这也算是个简单的CDQ吧

现在我们考虑三维偏序，我们考虑先对数组总体排个序，这样在操作的过程中总有\(a_i\le a_j(i<j)\)（即使我们将区间一分为二那么右边的数的\(a_i\)始终大于左边。

然后对于第二维\(y_i\)，我们考虑一下处理方法。

假设现在处理区间\([l,r]\)，而此前我们已经通过递归处理好了\([l,mid]\)和\([mid+1,r]\)的答案。

那我们把\([l,mid]\)和\([mid+1,r]\)分别按\(y_i\)排个序，这样第二维也有了上面的性质。

再考虑怎么计算左边和右边的偏序关系，我们可以维护两个指针\(i,j\)，每次我们将\(j\)后移一位以表示再加入一个数，此时若\(y_i\le y_j\)则不断后移\(i\)，并且将\(z_i\)加入权值树状数组。

然后现在对于右边的每一个数：

• 在权值树状数组上所有的数的\(x_i\)都小于它（因为排了序）
• 在权值树状数组上所有的数的\(y_i\)都小于它（因为上面的指针偏移统计）

那么只要找\(z_i\)小于它的数个数即可，这个我们直接在树状数组上找即可。

复杂度是比较迷的\(O(n\log n)\)，不过由于CQD的常数很小所以可以轻松跑过缅怀各位写树套树的dalao

下面上CODE

#include
    
     #include
     
      #include
      
       using namespace std;const int N=100005;struct data{    int x,y,z,num,sum;    bool operator ==(const data &s) const { return x==s.x&&y==s.y&&z==s.z; }}a[N],q[N];int n,cnt,m,bit[N<<1],ans[N],tot;inline char tc(void){    static char fl[100000],*A=fl,*B=fl;    return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;}inline void read(int &x){    x=0; char ch; int flag=1; while (!isdigit(ch=tc())) flag=ch^'-'?1:-1;    while (x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',isdigit(ch=tc())); x*=flag;}inline void write(int x){    if (x>9) write(x/10);    putchar(x%10+'0');}inline bool cmpx(data a,data b){    if (a.x==b.x&&a.y==b.y) return a.z
       
        >1,id=l;    CDQ(l,mid); CDQ(mid+1,r); sort(q+l,q+mid+1,cmpy); sort(q+mid+1,q+r+1,cmpy);    for (register int i=mid+1;i<=r;++i)    {        while (id<=mid&&q[id].y<=q[i].y) add(q[id].z,q[id].num),++id; q[i].sum+=get(q[i].z);    }    for (register int i=l;i
       
      
     
    

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关于更复杂的问题

其实我也不会，不过对于一般的高维偏序，我们可以CDQ套CDQ，反正一般k维偏序用CDQ的复杂度就是\(O(n\log^{k-1} n)\)

因此维数太大时还是使用K-d tree吧